预备知识

定理 设$a(t)$是一个非零连续可微函数，则

1. 函数$a(t)$的长度是常数，当且仅当$a'(t)\cdotp a(t)\equiv 0$;
2. 函数$a(t)$的方向不变，当且仅当$a'(t)\times a(t)\equiv 0$;
3. 函数$a(t)$与一个确定方向垂直，当且仅当$(a(t),a'(t),a''(t))\text{(混合积)}\equiv 0;

$proof.$
1.
$\begin{aligned} &\because \frac{d}{dt}|a(t)|^2=2a'(t)\cdotp a(t)\\ &\therefore |a(t)|^2=Const\iff a'(t)\cdotp a(t)=0 \end{aligned}$
2.
$\exists$单位常向量$b,\quad a(t)=f(t)\cdotp b$
其中$f(t)$是连续可微函数
$\begin{aligned} \therefore\quad &a'(t)=f'(t)\cdotp b\\ \therefore\quad&a'(t)\times a(t)=0 \end{aligned}$
反之，设$a'(t)\times a(t)=0$,命$b(t)=a(t)/|a(t)|$,则$|b(t)|=1$由（1）知，$b'(t)\cdotp b(t)=0$,即$b'(t)\cdotp a(t)=0$.由定义可知
$a(t)=f(t)\cdotp b(t)$
其中$f(t)=|a(t)|$,则
$a'(t)=f'(t)\cdotp b(t)+f(t)\cdotp b'(t)$
$a'(t)\times a(t)=f(t)\cdotp b'(t)\times a(t)=0$
因此$b'(t)\parallel a(t)$.由于$b'(t)\cdotp a(t)=0$,故$b'(t)=0$,即b(t)是常向量，即向量函数$a(t)$的方向不变。

曲线论

1. 参数方程

   将曲线看做动点的运动轨迹。三维空间上的曲线是连续映射$a:\mathbf{I\to R^3}$,对于$t\in \mathbf{I}$,我们用
   $a(t)=(a^1(t),a^2(t),a^3(t))$
   作为$a$的参数化法（parametrization)。

   直线的参数方程：$\mathbf p$,$\mathbf q$为直线上的两点，
   $a(t)=\mathbf p + t(\mathbf q -\mathbf p)$
   方向向量$\mathbf q -\mathbf p$是该时刻的速度向量，记为$\mathbf v$。

2. 正则曲线

   • 如果曲线的参数表示式中的函数一阶连续可微函数，这称其为光滑曲线。
   • 对于光滑曲线$r=r(t)$, 假设对于曲线$r=r(t)$上$t=t_0$有$r'(t_0)\not =0$,则称这一点为曲线上的正常点。
   • 曲线上所有点都是正常点时，则称曲线为正则曲线。

3. 自然参数

   • 定义：对于正则曲线$\Gamma: r=r(t)$,称积分$s(t)=\int_{t_0}^t |r'(\eta)|d\eta$ 为曲线$\Gamma$从点$t_0$到$t$的弧长。
   • 自然参数：以弧长作为曲线的参数，记为$s$。曲线表示为$r=r(s)$
   • 定理 设$r=r(t),a\le t\le b$是$E^3$中的一条正则曲线，则t是它的弧长参数的充要条件是$|r'(t)|=1$。
     $proof.$ $\because ds/dt=|r'(t)|,\therefore ds=dt \iff |r'(t)|=1.$
     上述命题的直观意义是：曲线以弧长为参数的充要条件是它的切向量场是单位切向量场。为了强调已经把弧长取为曲线的参数，我们通常用“·”表示对于弧长参数的微商，如$\dot r(s)$等等。
   • 自然参数的性质：
     • 切向量具有单位长度$|\dot{r}(s)|=|\frac{dr(s)}{ds}|=1$，即单位速率曲线。
     • $r(s)\perp \dot{r}(s),\dot{r}(s)\perp \ddot{r}(s)$

4. 曲率、挠率

   • 单位切向量(unit tangent vector)：$T(s)=\dot{r}(s),|T|=1$
     
   • 定理 设$\Delta \theta$表示向量$\alpha(s+\Delta s)$与$\alpha(s)$之间的夹角，则
     $|\dot T(s)|=\lim_{\Delta s\to 0}|\frac{\Delta \theta}{\Delta s}|$
     $proof.$ 我们把曲线上的单位切向量$T(s)$平行移动到原点$O$,则它的端点便描出一条单位球面上的曲线，$\Delta \theta$就是$|T(s+\Delta s)$与$T(s)$所张的角,而$|T(s+\Delta s)-T(s)$正好是它所对的弦长。所以：
     $\begin{aligned} |\dot T(s)|=&\lim_{\Delta s \to 0}\frac{T(s+\Delta s)-T(s)|}{\Delta s|}\\ =&\lim_{\Delta s\to 0}\frac{2|\sin \frac{\Delta\theta}{2}|}{|\Delta s|}\\ =&\lim_{\Delta s\to 0}\frac{|\Delta \theta|}{|\Delta s|} \end{aligned}$
   • 曲率(curvature)： $\kappa (s)=|\dot T(s)|=|\ddot{r}(s)| \quad \kappa(s)=\lim\limits_{\Delta s\to 0}|\frac{\Delta\varphi}{\Delta s}|$，称$\dot T(s)$为该曲线的曲率向量。
   • 主法向量(principal normal vector)：$N(s)=\frac{\ddot{r}(s)}{k(s)},|N|=1$
   • 副法向量(binormal)：$B(s)=T(s)\times N(s),|B|=1$
     注：单位切向量，主法向量，副法向量也作$\alpha(s),\beta(s),\gamma(s)$
   • 挠率：$\tau(s)=-\dot{B}(s)\cdotp N(s)$
   • 定理 设$β(s)$是具有单位速度的曲线，则
     1. $\kappa =0$ 当且仅当$β(s)$是直线。
     2. $\kappa >0,\tau =0$当且仅当$β(s)$是平面曲线。

5. Frenet标架

   • Frenet标架：$\{r(s):T(s),N(s),B(s)\}$
   • 曲率刻画了曲线的弯曲程度，刻画了曲线偏离切线的程度。
   • 挠率刻画了曲线偏离密切面的程度，是曲线非平面化的量
     • 若曲线在T正向的一方，且在密切面上面，即也在B正向的这一面，这时挠率$\tau$取正。
     • 若曲线在正向的一方，且在密切面的下面，挠率$\tau$取负。
       
   • 定义：过空间曲线上P点的切线和P点邻近一点Q可作一平面σ，当Q点沿曲线趋于P时，平面σ的极限位置π称为曲线在P点的密切平面
   • 定义：过曲线上一点P的主法线的正侧取线段PC，使PC的长为1/k。以C为圆心以1/k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线在P点的密切圆或曲率圆，圆的中心叫曲率中心，圆的半径叫曲率半径。
     $\begin{aligned} &\because \Delta s=R\Delta\alpha \\ &\therefore \kappa=\lim\limits_{\Delta s\to 0}|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|=\frac{1}{R} \end{aligned}$
     在点P处的曲率圆与曲线有下列密切关系：
     1. 有公切线
     2. 凹向一致
     3. 曲率相同
        
   • Frenet公式，其系数阵为反对称方阵
     $\begin{pmatrix} \dot{T}(s) \\ \dot{N}(s) \\ \dot{B}(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & k(s) & 0 \\ -k(s) & 0 & \tau (s)\\ 0 & -\tau(s) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T(s) \\ N(s) \\ B(s) \end{pmatrix}$
   • 达布向量（Darboux vector): $\omega =\tau T+\kappa B$

6. 一般参数曲线的曲率、挠率的计算

   • 空间曲线：$r=r(t)$
     • 曲率：$\kappa=\frac{|r'(t)\times r''(t)|}{|r'(t)|^3}$
     • 挠率：$\tau =\frac{r'(t)\times r''(t)\cdotp r'''(t)}{|r'(t)\times r''(t)|^2}\text{(混合积)}$
       推导：
       已经知道：$T(s)=\frac{dr(s)}{ds},\quad \kappa=|\dot T(s)|=|\ddot r(s)|$
       如果$\kappa \ne 0$,则
       $N(s)=\frac{\ddot r(s)}{|\ddot r(s)|},\quad B(s)=T(s)\times N(s)=\frac{\dot r(s)\times \ddot r(s)}{|\ddot r(s)|}$
       如果曲线的方程是$r=r(t),t$不是弧长参数，则
       $\frac{ds}{dt}=|r'(t)|$
       故
       $T(t)=\frac{r'(t)}{|r'(t)|},\quad r'(t)=|r'(t)|\cdotp T(t).$
       对后一式再微分得到
       $\begin{aligned} r''(t)=&\frac{d|r'(t)|}{dt}T(t)+|r'(t)|\cdotp \frac{dT}{ds}\cdotp \frac{ds}{dt}\\ =&\frac{d|r'(t)|}{dt}T(t)+|r'(t)|^2\cdotp \kappa N(t), \end{aligned}$
       所以
       $\begin{aligned} r'(t)\times r''(t)=&|r'(t)|^3\cdotp \kappa(T(t)\times N(t))\\ =&|r'(t)|^3\cdotp \kappa B(t), \end{aligned}$
       由此得到
       $\kappa=\frac{|r'(t)\times r''(t)|}{|r'(t)|^3},\quad B(t)=\frac{r'(t)\times r''(t)}{|r'(t)\times r''(t)|}$
       $\begin{aligned} N(t)=&B(t)\times T(t)\\ =&\frac{|r'(t)|^2r''(t)-(r'(t)\cdotp r''(t))r'(t)}{|r'(t)|\cdotp |r'(t)\times r''(t)|} \end{aligned}$
   • 平面曲线 $y=f(x)$
     • $y=f(x)$曲率：$\kappa=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$
     • $x=x(t),y=y(t)$曲率：$\kappa=\frac{|\dot x\ddot y-\ddot x\dot y|}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}$
     • 挠率：0

7. 曲线论基本定理

   • 曲线的弧长、曲率、挠率这三个量是由曲线本身的形状决定的，与它的参数表示和坐标系的选取无关。
   • 定理 设$r=r_1(s),r=r_2(s)$是$E^3$中两条以弧长s为参数的正则曲线，如果他们的曲率出处不为0，并且$\kappa_1(s)=\kappa_2(s),\tau_1(s)=\tau_2(s)$,则必存在$E^3$的一个刚体运动$\sigma$,它把曲线$r=r_2(s)$变为曲线$r=r_1(s)$。

曲面论

1. 参数曲面片
   所谓参数曲面片是指从$E^2$的一个区域$D$到空间$E^3$中的一个连续映射。若在$E^2,E^3$中分别建立笛卡尔坐标系，用$(u,v)$记$E^2$中点的坐标，用$(x,y,z)$记$E^3$中的点的坐标，则一个参数曲面排列的方程可以表示为：
   $\left\{ \begin{aligned} x=&x(u,v)\\ y=&y(u,v)\\ z=&z(u,v) \end{aligned}\right.\qquad (u,v)\in D,$
   或者写成向量方程：
   $r=r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
   我们首先要求函数$x(u,v),y(u,v),z(u,v)$都是三次以上连续可微的。变量$u,v$称为该曲面片的参数。
   
   在曲面S上取一定点$P_0=r(u_0,u_0)$,让$u$变化，而$u=u_0$,则动点描出一条落在曲面S上的曲线，这条曲线称为过点$P_0$的v-曲线，它的方程是
   $u=u_0$
   或者
   $r=r(u_0,v)$
   同理，也有u-曲线，这样，经过每一点有一条u-曲线和一条v-曲线，它们构成曲面上的参数曲线网。通常把$(u,v)$称为曲面上的曲纹坐标
2. 正则曲面片
   如果$r_u(u_0,v_0),r_v(u_0,v_0)$是线性无关的，则称曲面片S在点$P_0$是正则的。三次以上连续可微的、处处是正则点的曲面片，即所谓的正则曲面片。
3. 曲面的Monge形式
   $z=z(u,v)=z(f(x,y),g(x,y))$
   用Monge形式给出的曲面片总是正则的
4. 曲面正侧
   规定，向量$r_u\times r_v$所指的一侧为曲面正侧。参数u，v的次序决定了参数曲面的定向。
5. 切平面、法线
   切平面的单位法向量
   $n=\frac{r_u\times r_v}{|r_u\times r_v|}$
   曲面$r=r(u,v)$在点$(u,v)$的切平面的参数方程是
   $X(\lambda,\mu)=r(u,v)+\lambda r_u+\mu r_v$
   其中$\lambda,\mu$是切平面上动点的参数，法线的参数方程是
   $X(t)=r(u,v)+tn(u,v)$
   曲面上的每一点，由其参数方程定义了一个标架$\{r;r_u,r_v,n\}$,称为曲面上的自然标架。

曲面的第一基本形式

设有正则参数曲面片$S:r=r(u,v)$,曲面S在每一点的切空间是有切向量$r_u(u,v),r_v(u,v)$张成的二维向量空间，它是$R^3$的子空间，因此S的切向量作为$R^3$中的向量，可以求它们的长度及夹角。前面已经说过，曲面S在任意一点$r(u,v)$的切向量是
$dr(u,v)=r_u(u,v)du+r_v(u,v)dv$

(1)

其中$(du,dv)$是切向量$dr(u,v)$在自然基底${r_u,r_v}$下的分量。
但是一般说来，${r_u,r_v}$不是单位正交基底，如果我们知道基底的度量系数，则表示成（1）式的切向量的内积就能够用他们在基底${r_u,r_v}$下的分量$du,dv$来表达了。命
$\begin{aligned} E(u,v)=&r_u\cdotp r_u \\ F(u,v)=&r_u\cdotp r_v \\ G(u,v)=&r_v\cdotp r_v \end{aligned}$
他们就是基底${r_u,r_v}$的度量系数，称为曲面S的第一类基本量
通常记作：
$\begin{pmatrix} E & F\\ F & G \end{pmatrix}$
显然这是一个正定矩阵
$\begin{aligned} I=&Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\\ =&(du,dv) \begin{pmatrix} E & F\\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix} \end{aligned}$
二次微分式$I$在容许参数变换下是不变的，我们称$I$为曲面的第一基本形式。
$I$的几何意义
$I=dr\cdotp dr$
此外若命
$\delta r=r_u\delta u+r_v\delta v$
这切向量的内积是
$dr\cdotp \delta r=(du,dv) \begin{pmatrix} E & F\\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta u \\ \delta v \end{pmatrix}$

(2)

因此
$\begin{aligned} |dr|=&\sqrt{Edu^2+2Fdudv+Gdv^2}\\ \cos \angle(dr,\delta r)=&\frac{dr\cdotp \delta r}{|dr||\delta r|} \end{aligned}$

(3)

特别的，$dr$与$\delta r$正交$\iff(1)=0$

若在曲面上有一条曲线，它的方程是
$u=u(t),\quad v=v(t),\quad a\le t\le b.$
由（3）知，它的弧长是
$\begin{aligned} L=&\int_a^b|r'(t)|dt\\ =&\int_a^b[E(u(t),v(t))(\frac{du}{dt})^2+2F(u(t),v(t))\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt}+G(u(t),v(t))(\frac{dv}{dt})^2]^{1/2}dt \end{aligned}$

最后我们来讨论曲面上一个区域的面积计算。

设S的方程是$r=r(u,v),(u,v)\in D\subset E^2$,考虑曲面上由参数曲线$u=u_0,u=u_0+\Delta u,v=v_0,v=v_0+\Delta v$所围成的一小块，它的面积与切平面上由$\Delta u\cdotp r_u,\Delta v\cdotp r_v$所张成的平行是变形的面积在略去更高阶无穷小之后是相同的，而后者的面积是
$\begin{aligned} |(\Delta u\cdotp r_u)\times(\Delta v\cdotp r_v)|=&|r_u\times r_v|\Delta u\Delta v\\ =&\sqrt{EG-F^2}\Delta u\Delta v \end{aligned}$
命
$dA=\sqrt{EG-F^2}dudv$
称为曲面S的面积元素，那么S的面积是
$A=\iint_D\sqrt{EG-F^2}dudv$
根据重积分的替换法则以及第一类基本量的变换规律不难知道，A与曲面上参数的容许变换是无关的。

1. 保长对应和保角对应
2. 可展曲面

曲面的第二基本形式

参考资料

1. 微分几何初步 陈维桓