子午圈（经圈） ：过旋转轴的平面（子午面）与椭球面的交线椭圆。平行圈（纬圈） ：正交于旋转轴的平面与椭球面的交线圆。赤道圈 ：最大的平行圈，其所在的平面（赤道面）过椭圆中心。Frenet(伏雷内)标架 ：利用曲线上任一点处的三个单位正交基构成的三维直角坐标系。其中T轴指向曲线的切线方向，N轴指向曲线的主法线方向，B轴指向曲线的副法线方向。{ T , P , R } \{T,P,R\} { T , P , R } { T , P ′ , R } \{T,P',R\} { T , P ′ , R } { T , R , P } \{T,R,P\} { T , R , P } 大地经度L ：是指通过地面A点和地球椭球体旋转轴的平面与起始大地子午面（本初子午面）间的夹角L。大地纬度B ：椭球面在该点处的法线与赤道面的夹角。归化纬度u ：该点所在的子午面上的椭圆的对应的外接圆的圆心角球心纬度Φ（地心纬度） ：该点与椭球球心的连线与赤道面的夹角法截面 ：过椭球面上一点的椭球面法线所在平面。法截线（法截弧） ：法截面同椭球面的交线。卯酉线 ：过椭球面上一点M作与该点子午线切线MT相正交的法截面，它与椭球面的交线法曲率 ：？大地方位角A ：？平均曲率半径（高斯曲率半径） ：一点上所有方向法截线的曲率半径的平均值
X 2 a 2 + Y 2 a 2 + Z 2 b 2 = 1 \frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{a^2}+\frac{Z^2}{b^2}=1 a 2 X 2 + a 2 Y 2 + b 2 Z 2 = 1 e = c / a = a 2 − b 2 a α = a − b a e=c/a=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} \qquad \alpha=\frac{a-b}{a} e = c / a = a a 2 − b 2
α = a a − b X 2 a 2 + Z 2 b 2 = 1 , Y = 0 \frac{X^2}{a^2}+\frac{Z^2}{b^2}=1,\quad Y=0 a 2 X 2 + b 2 Z 2 = 1 , Y = 0 X 2 a 2 + Y 2 a 2 + Z 2 b 2 = 1 , Y X = tan L \frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{a^2}+\frac{Z^2}{b^2}=1,\quad \frac{Y}{X}=\tan L a 2 X 2 + a 2 Y 2 + b 2 Z 2 = 1 , X Y = tan L
起始子午线参数方程：X 0 = a cos u , Y 0 = 0 , Z 0 = b sin u X_0=a\cos u,\quad Y_0=0,\quad Z_0=b\sin u X 0 = a cos u , Y 0 = 0 , Z 0 = b sin u
(A)
绕Z轴旋转即得参数椭球面参数方程：{ X = a cos u cos L Y = a cos u sin L Z = b sin u \left\{
\begin{aligned}
&X=a\cos u\cos L\\
&Y=a\cos u\sin L\\
&Z=b\sin u
\end{aligned}
\right. ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ X = a cos u cos L Y = a cos u sin L Z = b sin u
起始子午线方程：X 2 a 2 + Z 2 b 2 = 1 \frac{X^2}{a^2}+\frac{Z^2}{b^2}=1 a 2 X 2 + b 2 Z 2 = 1
(1)
在M点处的法向量：( 2 X a 2 , 2 Z b 2 ) (\frac{2X}{a^2},\frac{2Z}{b^2}) ( a 2 2 X , b 2 2 Z ) tan B = 2 Z b 2 / 2 X a 2 \tan B=\frac{2Z}{b^2}/\frac{2X}{a^2} tan B = b 2 2 Z / a 2 2 X Z = X ( 1 − e 2 ) tan B Z=X(1-e^2)\tan B Z = X ( 1 − e 2 ) tan B
(2)
联立（1）（2）有：{ X = a cos B 1 − e 2 sin 2 B Z = a ( 1 − e 2 ) sin B 1 − e 2 sin 2 B \left\{
\begin{aligned}
&X=\frac{a\cos B}{\sqrt{1-e^2\sin^2 B}} \\
&Z=\frac{a(1-e^2)\sin B}{\sqrt{1-e^2\sin^2 B}}
\end{aligned}
\right. ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ X = 1 − e 2 sin 2 B
a cos B Z = 1 − e 2 sin 2 B
a ( 1 − e 2 ) sin B
(B)
令W = 1 − e 2 sin 2 B , N = a W W=\sqrt{1-e^2\sin^2 B},\quad N=\frac{a}{W} W = 1 − e 2 sin 2 B
, N = W a { X = N cos B cos L Y = N cos B sin L Z = N ( 1 − e 2 ) sin B \left\{
\begin{aligned}
&X=N\cos B\cos L \\
&Y=N\cos B\sin L \\
&Z=N(1-e^2)\sin B
\end{aligned}
\right. ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ X = N cos B cos L Y = N cos B sin L Z = N ( 1 − e 2 ) sin B
(3)
起始子午线方程：X 2 a 2 + Z 2 b 2 = 1 \frac{X^2}{a^2}+\frac{Z^2}{b^2}=1 a 2 X 2 + b 2 Z 2 = 1 ρ = a 1 − e 2 1 − e 2 cos 2 Φ \rho=a\sqrt{\frac{1-e^2}{1-e^2\cos^2 \Phi}} ρ = a 1 − e 2 cos 2 Φ 1 − e 2
X = ρ cos Φ , Z = ρ sin Φ X=\rho\cos \Phi,\quad Z=\rho\sin \Phi X = ρ cos Φ , Z = ρ sin Φ X = a cos Φ 1 − e 2 1 − e 2 cos 2 Φ , Z = a sin Φ 1 − e 2 1 − e 2 cos 2 Φ X=a\cos\Phi\sqrt{\frac{1-e^2}{1-e^2\cos^2 \Phi}},\quad
Z=a\sin\Phi\sqrt{\frac{1-e^2}{1-e^2\cos^2 \Phi}} X = a cos Φ 1 − e 2 cos 2 Φ 1 − e 2
, Z = a sin Φ 1 − e 2 cos 2 Φ 1 − e 2
(C)
绕Z轴旋转有：{ X = a cos Φ cos L 1 − e 2 1 − e 2 cos 2 Φ Y = a cos Φ sin L 1 − e 2 1 − e 2 cos 2 Φ Z = a sin Φ 1 − e 2 1 − e 2 cos 2 Φ \left\{
\begin{aligned}
&X=a\cos\Phi\cos L\sqrt{\frac{1-e^2}{1-e^2\cos^2 \Phi}} \\
&Y=a\cos\Phi\sin L\sqrt{\frac{1-e^2}{1-e^2\cos^2 \Phi}} \\
&Z=a\sin\Phi\sqrt{\frac{1-e^2}{1-e^2\cos^2 \Phi}}
\end{aligned}
\right. ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ X = a cos Φ cos L 1 − e 2 cos 2 Φ 1 − e 2
Y = a cos Φ sin L 1 − e 2 cos 2 Φ 1 − e 2
Z = a sin Φ 1 − e 2 cos 2 Φ 1 − e 2
sin u = sin B 1 − e 2 1 − e 2 sin 2 B cos u = cos B 1 − e 2 sin 2 B tan u = 1 − e 2 tan B tan Φ = ( 1 − e 2 ) tan B \begin{aligned}
\sin u &=\frac{\sin B\sqrt{1-e^2}}{\sqrt{1-e^2\sin^2 B}}\\
\cos u &=\frac{\cos B}{\sqrt{1-e^2\sin^2 B}} \\
\\
\tan u &=\sqrt{1-e^2}\tan B \\
\tan \Phi &=(1-e^2)\tan B
\end{aligned} sin u cos u tan u tan Φ = 1 − e 2 sin 2 B
sin B 1 − e 2
= 1 − e 2 sin 2 B
cos B = 1 − e 2
tan B = ( 1 − e 2 ) tan B
对称性
有界性∣ X ∣ ≤ a , ∣ Y ∣ ≤ a , ∣ Z ∣ ≤ b |X| \le a,\quad |Y|\le a,\quad |Z|\le b ∣ X ∣ ≤ a , ∣ Y ∣ ≤ a , ∣ Z ∣ ≤ b
正则性（法向量不为0）X 2 a 2 + Y 2 a 2 + Z 2 b 2 = 1 \frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{a^2}+\frac{Z^2}{b^2}=1 a 2 X 2 + a 2 Y 2 + b 2 Z 2 = 1 ( 2 X a 2 , 2 Y a 2 , 2 Z b 2 ) (\frac{2X}{a^2},\frac{2Y}{a^2},\frac{2Z}{b^2}) ( a 2 2 X , a 2 2 Y , b 2 2 Z ) n ⃗ = ( cos B cos L , cos B sin L , sin B ) \vec{n}=(\cos B\cos L,\cos B\sin L,\sin B) n ⃗ = ( cos B cos L , cos B sin L , sin B )
不可展性
空间曲线的曲率κ = ∣ r ′ ( t ) × r ′ ′ ( t ) ∣ ∣ r ′ ( t ) ∣ 3 \kappa=\frac{|r'(t)\times r''(t)|}{|r'(t)|^3} κ = ∣ r ′ ( t ) ∣ 3 ∣ r ′ ( t ) × r ′ ′ ( t ) ∣
椭球面法截面曲率半径
显然，法截面有无数个，相应的有无数条法截线，它们都是平面曲线。
子午线曲率半径r ( u ) = ( x ( u ) y ( u ) z ( u ) ) = ( a cos u 0 b sin u ) r(u)=
\begin{pmatrix}
x(u)\\y(u)\\z(u)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a\cos u\\0\\b\sin u
\end{pmatrix} r ( u ) = ⎝ ⎛ x ( u ) y ( u ) z ( u ) ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ a cos u 0 b sin u ⎠ ⎞ κ ( u ) = a b ( b 2 cos 2 u + a 2 sin 2 u ) 3 \kappa(u)=\frac{ab}{\sqrt{(b^2\cos^2 u+a^2\sin^2 u)^3}} κ ( u ) = ( b 2 cos 2 u + a 2 sin 2 u ) 3
a b κ ( B ) = W 3 a ( 1 − e 2 ) \kappa(B)=\frac{W^3}{a(1-e^2)} κ ( B ) = a ( 1 − e 2 ) W 3 M = 1 κ = a ( 1 − e 2 ) W 3 M=\frac{1}{\kappa}=\frac{a(1-e^2)}{W^3} M = κ 1 = W 3 a ( 1 − e 2 )
卯酉线曲率半径N = a / W N=a/W N = a / W
任意方向法截线的曲率半径k A = cos 2 A M + sin 2 A N k_A=\frac{\cos^2 A}{M}+\frac{\sin^2 A}{N} k A = M cos 2 A + N sin 2 A R A = M N N cos 2 A + M sin 2 A R_A=\frac{MN}{N\cos^2 A+M\sin^2 A} R A = N cos 2 A + M sin 2 A M N
平均曲率半径R = 1 π / 2 − 0 ∫ 0 π / 2 R A d A = 2 π ∫ 0 π / 2 M N N cos 2 A + M sin 2 A d A R=\frac{1}{\pi/2-0}\int_0^{\pi/2}R_AdA=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{MN}{N\cos^2 A+M\sin^2 A}dA R = π / 2 − 0 1 ∫ 0 π / 2 R A d A = π 2 ∫ 0 π / 2 N cos 2 A + M sin 2 A M N d A ∫ d x a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x = 1 a b arctan ( b a tan x ) + C \int\frac{dx}{a^2\cos^2 x+b^2\sin^2 x}=\frac{1}{ab}\arctan(\frac{b}{a}\tan x)+C ∫ a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x d x = a b 1 arctan ( a b tan x ) + C R = M N = a 1 − e 2 W 2 R=\sqrt{MN}=\frac{a\sqrt{1-e^2}}{W^2} R = M N
= W 2 a 1 − e 2
W = 1 − e 2 sin 2 B N = a W M = a ( 1 − e 2 ) W 3 \begin{aligned}
W=&\sqrt{1-e^2\sin^2 B} \\
N=&\frac{a}{W}\\
M=&\frac{a(1-e^2)}{W^3}
\end{aligned} W = N = M = 1 − e 2 sin 2 B
W a W 3 a ( 1 − e 2 ) W ≥ 1 − e 2 W\ge \sqrt{1-e^2} W ≥ 1 − e 2
B = 9 0 ∘ B=90^\circ B = 9 0 ∘ N ≥ R ≥ M N\ge R\ge M N ≥ R ≥ M
由定义给出：E = M 2 , F = 0 , G = N 2 ⋅ cos 2 B E=M^2,F=0,G=N^2\cdotp \cos^2 B E = M 2 , F = 0 , G = N 2 ⋅ cos 2 B
微小弧段d S = M 2 d B 2 + N 2 cos 2 B ⋅ d L 2 dS=\sqrt{M^2dB^2+N^2\cos^2 B\cdotp dL^2} d S = M 2 d B 2 + N 2 cos 2 B ⋅ d L 2
子午线弧长{ X = a cos u Z = b sin u \left\{
\begin{aligned}
X=&a\cos u \\
Z=&b\sin u
\end{aligned}\right. { X = Z = a cos u b sin u S 1 ∼ 2 = ∫ a 2 sin 2 u + b 2 cos 2 u d u 第一类椭圆积分 = ∫ M d B = a ( 1 − e 2 ) ∫ B 1 B 2 ( 1 − e 2 sin 2 B ) − 3 2 d B 第三类椭圆积分 \begin{aligned}
S_{1\sim2}=&\int \sqrt{a^2\sin^2 u+b^2\cos^2 u}du \text{第一类椭圆积分}\\
=&\int MdB\\
=&a(1-e^2)\int_{B_1}^{B_2}(1-e^2\sin^2 B)^{-\frac{3}{2}}dB\text{第三类椭圆积分}
\end{aligned} S 1 ∼ 2 = = = ∫ a 2 sin 2 u + b 2 cos 2 u
d u 第一类椭圆积分 ∫ M d B a ( 1 − e 2 ) ∫ B 1 B 2 ( 1 − e 2 sin 2 B ) − 2 3 d B 第三类椭圆积分
matlab中的函数Π ( n ; φ ∣ m ) = ∫ 0 φ 1 ( 1 − n sin 2 θ ) 1 − m sin 2 θ d θ \Pi(n;\varphi|m)=\int_0^\varphi\frac{1}{(1-n\sin^2\theta)\sqrt{1-m\sin^2\theta}}d\theta Π ( n ; φ ∣ m ) = ∫ 0 φ ( 1 − n sin 2 θ ) 1 − m sin 2 θ
1 d θ S 1 ∼ 2 = a ( 1 − e 2 ) ( e l l i p t i c P i ( e 2 , B 2 , e 2 ) − e l l i p t i c P i ( e 2 , B 1 , e 2 ) ) S_{1\sim2}=a(1-e^2)(ellipticPi(e^2,B_2,e^2)-ellipticPi(e^2,B_1,e^2)) S 1 ∼ 2 = a ( 1 − e 2 ) ( e l l i p t i c P i ( e 2 , B 2 , e 2 ) − e l l i p t i c P i ( e 2 , B 1 , e 2 ) )
现代大地控制测量（第二版） 施一民 测绘出版社
