射影几何(一)

射影几何速览

习惯上用大写字母表示点，用小写字母表示线，用希腊字母表示面。

仿射变换

平面上的一个点变换 $\tau$ ,如果它在一个仿射坐标系中的公式为
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$
其中系数矩阵A为非奇异的，则称 $\tau$ 是平面的仿射(点)变换。

性质

仿射变换把直线变成直线
$proof.$
将仿射变换记为
$a'=Aa+a_0$
平面上任取一条直线 $l:ax+by+c=0,\beta=(a,b)^T$ ,则l的方程可写成
$\beta^Ta+c=0$
将 $a=A^{-1}(a'-a_0)$ 带入得：
$\beta^TA^{-1}a'+c-\beta^TA^{-1}a_0=0$
假如 $\beta^TA^{-1}=0$ ,则 $\beta^T=0,\implies a=b=0$ ,矛盾，因此上式为 $x',y'$ 的一次方程，从而表示一条直线 $l'$ 。上述说明，直线l上任一点在 $\sigma$ 下的象必在直线 $l'$ 上。反之，将 $a'=Aa+a_0$ 带入就会得到原直线方程，这说明直线 $l'$ 上的每一个点在 $\sigma$ 下的原象都在直线l上，因此 $\sigma$ 把直线l变成直线 $l'$ 。
仿射变换把平行直线变成平行直线（反证法）

定义：设A,B,B是共线的三点，在此直线上去一单位向量e，若 $\vec{AB}=\lambda e$ ,则称 $\lambda$ 是线段AB的代数长，就用AB表示；称 $\frac{AB}{BC}$ 为共线三点A,B,C的简单比值(单比)，记作(A,C,B)。

定理：仿射变换保持共线三点的简单比值不变。

定理：仿射变换 $\tau$ 把任意一个仿射标架I变成一个仿射标架II,并且任一点P的I坐标等于它的象 $P'$ 的II坐标。

定理：不共线三点确定一仿射变换。

仿射变换的变积系数为|A|,仿射变换按照同一个比值d来平面上所有图形的面积。

射影变换

解析几何的主要研究方法：坐标法，向量法，坐标变换法以及点变换（正交变换和仿射变换）法。

仿射变换的重要特性是：把共线三点变为共线三点。射影变换研究的是一般的从一个平面到另一个平面的保持点的共线关系不变的映射。

中心射影

中心射影又叫透视对应，是射影几何的基本方法。

在中心投影下，点的共线关系仍然是保持的，但是为了弥补没有原象的缺陷，引进射影平面的概念。

以下投影与射影混用。

直线到直线的中心射影

定义设 $l,l'$ 为两条相异的共面直线， $O$ 为平面上不属于直线 $l,l'$ 的一个定点。则由此确定了直线 $l$ 到 $l'$ 的一个中心射影。若 $O$ 与 $l$ 上一点 $P$ 的连线 $OP$ 与 $l'$ 有交点 $P$ ,则称 $P'$ 为 $P$ 在 $l'$ 上以 $O$ 为投射中心（投影中心）的中心射影。直线 $OP$ 称为投射线。

1-1

称 $P'$ 为直线 $l$ 上点 $P$ 在 $l'$ 上的像点，而称 $P$ 为 $P'$ 的原像。显然，中心射影是相互的， $P$ 也是 $P'$ 在直线 $l$ 上的像点。若 $l$ 与 $l'$ 有交点 $X$ ,本书常用记号 $X=l\times l'$ 表示 $l$ 与 $l'$ 的交点为 $X$ 。显然 $X$ 为中心射影下的自对应点，自对应点也称为不变点，易见，中心射影与投射中心的选取有关。

显然，在直线上存在一点 $U$ ，使得直线 $OU\parallel l'$ ,这样， $OU$ 与 $l'$ 没有交点，即点 $U$ 在 $l'$ 上没有像，称 $U$ 为 $l$ 上的影消点。同样，在 $l'$ 上也存在影消点 $V'$ 。由于影消点的存在，直线到直线的中心射影不是双射。

平面到平面的中心射影

定义设 $\pi,\pi'$ 为两个相异平面， $O$ 为不在此二平面上取定的一点，则由此取定了平面 $\pi$ 到 $\pi'$ 的一个中心射影。对于 $\pi$ 上一点 $P$ ，若直线 $OP$ 与平面 $\pi'$ 有交点 $P'$ ,则称 $P'$ 为 $P$ 在 $\pi'$ 上以 $O$ 为投射中心的中心射影。直线OP称为投射线。

1-2

同样，平面到平面的中心射影也是相互的。设 $\pi\times \pi'=x$ ，则直线 $x$ 任一点 $X$ 都是此中心射影的自对应点，进而，直线 $x$ 为此中心射影下的自对应直线直线。平面上也存在影消线。

无穷远元素

影消点、影消线存在的根本原因是，在欧式空间中，相互平行的直线没有交点。所以要添加一些新的元素对欧氏空间加以拓广。添加新元素的基本约束是不破坏点和直线的关联关系以及下列两个基本几何事实：

两相异直线相交，有且只有一个交点。
通过两相异点有且只有一条直线。

约定

在每一条直线上添加唯一一个点，此点不是该直线上原有的点，称为无穷远点( $P_\infty$ )或理想点（与每个无穷远点对应的是一个完全确定的方向）
相互平行的直线上所添加的无穷远点相同，不平行的直线上添加的无穷远点不同。
平面上添加的无穷远点的集合为一条直线，称为无穷远直线( $l_\infty$ )或理想直线

参考资料

高等几何周兴和科学出版社，2003
解析几何（丘维声）