反对称矩阵

定义

设A为n维方阵，若有$A'=-A$,则称矩阵A为反对称矩阵。

对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为0，而位于主对角线两侧对称的元素反号。

性质

1. 若A为反对称矩阵，则$A',\lambda A$均为反对称矩阵。
2. 若A,B为反对称矩阵，则$A\pm B$为反对称矩阵。
3. 设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则$AB-BA$为对称矩阵。
4. 奇数阶反对称矩阵的行列式必为0.
5. 反对称矩阵的特征值为0或纯虚数，并且对应于纯虚数的的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

证明

以下$A'$与$A^T$混用。
1.
$A'=-A$
$(A')'=(-A)'=-(A')$
$(\lambda A)'=\lambda A'=\lambda(-A)=-(\lambda A)$
2.
$A'=-A,\quad B'=-B$
$(A\pm B)'=A'\pm B'=(-A)\pm(-B)=-(A\pm B)$
3.
$A'=-A,\quad B=B'$
$(AB-BA)'=(AB)'-(BA)'=B'A'-A'B'=-BA+AB=-(AB-BA)$
4.
$A'=-A$
$|-A|=(-1)^n|A|=|A'|=|A|$
当n为奇数时,$-|A|=|A|$于是$|A|=0$

向量的反对称矩阵

$\mathbf a=(a_1,a_2,a_3)',\quad \mathbf b=(b_1,b_2,b_3)'$
$\begin{aligned} \mathbf c=&a\times b\\ =& \begin{vmatrix} i & j & k\\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ -(a_1b_3-a_3b_1)\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix} \end{aligned}$

定义$\mathbf a$的反对称矩阵
$\mathbf (a\times)= \begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix}$
所以$a\times b=(a\times)b,\quad a\times(a\times b)=(a\times)^2b$

参考资料

1. 百度百科 反对称矩阵