射影几何(二)

射影几何理解

拓广平面

projgeo7.1

“关联”关系：一点在一直线上，一直线经过一点，一平面经过一直线等关系。
显然，关联关系是对称的，若点P与直线l关联，则必然有直线l与点P关联。

将平面看做所有与平面π相关联的点P和直线l，这样平面π就被看做一些点和直线的集合，记作 $\pi=[P,l]$ ,同样的，把与点O相关联的所有平面与直线的组成的集合称为中心为O的把，记为 $O=[\lambda,p]$

设点O不在平面π上，则平面π上的每个点P决定把O的一条直线OP，平面π上的每条直线决定把O的一个平面，即，点O与直线l所确定的面，记为Ol。这样就得到从平面π到把O的一个对应关系，称为π在把O上的射影，记为
$O[P,l]=[OP,Ol]$

类似地，反过来从把O到平面π也有一个对应关系：把O的平面 $\lambda$ 与平面π交于一条直线，这条直线用 $\pi\lambda$ 表示，把O的直线p与平面π交于一点，这个点用 $\pi p$ 来表示，我们将这个对应关系称为把O在平面π上的截影，并记作：
$\pi[\lambda,p]=[\pi\lambda,\pi p]$

容易看出经过射影与截影，关联关系是不改变的。

现在，我们看出，中心投影可以分解为射影和截影两个步骤，从平面π0到平面π1上以O点为投影中心的中心投影实际上就是π0在把O上的射影与把O在π1上的截影的复合(乘积)。π0上的点M在中心投影下没有象，因为把O的直线OM在截影下没有象；π1上的点N在中心投影下没有原象，这是因为把O的直线ON在射影下没有原象。
......

扩大的欧氏平面 $\bar\pi_0$ 上全体点的集合与把O的全体直线组成的集合存在一个一一对应， $\bar\pi_0$ 的所有直线组成的集合与把O的所有平面组成的集合也存在一个一一对应。

定义由两类分别称为“点”和“直线”的元素所构成的集合S，如果在其中的“点”和“直线”之间规定了某种称为“关联”的关系，并且S中所有的“点”和所有“直线”可以分别与欧氏空间中一个把O的所有直线和所有平面建立一一对应的关系，使得这对应关系保持关联性，则称S为射影平面。

射影平面有：叠合对径点的球面，扩大的欧式平面。

利用把O来研究射影平面上点与直线的关联关系。从把O看，两条（不同的）直线唯一地决定一个通过它们的平面，反过来，两个（不同的）平面相交于唯一的一条直线。所以，在射影平面上有：

两个点必与唯一的一条直线关联。
两条直线必与唯一的一个点关联。

射影平面与欧氏平面的不同之处:

射影平面上的圆周是封闭的。
射影平面上任何一条直线都不能分割射影平面。

点的齐次坐标

由于仿射坐标只能表示通常点，不能表示无穷远点，在此我们引进齐次坐标。

(摘自解析几何(丘维声))

加上齐次二字的原因：对于任一非零实数 $\lambda,(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)$ 与 $(x_1,x_2,x_3$ 表示把O中的同一条直线，从而它们表示 $\bar\pi$ 中的同一个点，因此若 $(x_1,x_2,x_3$ 是M点的齐次坐标，那么 $(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)$ 也是该点的齐次坐标。

同一点的齐次坐标不唯一，同一点的齐次坐标成比例。
不同点的齐次坐标不成比例。
齐次坐标（点）与把中的直线对应，即为该直线的方向向量。
通常点的齐次坐标x3不等于0，无穷远点的x3等于0。

每个点的齐次坐标由仿射坐标系完全确定，与O的选取无关。

有时称通常点M的仿射坐标(x,y)为它的非齐次坐标。

仿射坐标三点共线，齐次坐标三线共面。
无穷远直线的方程x3=0

参考资料

解析几何（丘维声）